ΑΡΧΙΚΗ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Άσκηση 3Β/σελ48 σχολικού

Δίνονται τα μη μηδενικά και μη συγγραμμικά διανύσματα \vec{\alpha } και \vec{\beta }.

Να αποδείξετε ότι:

  1. Ο φορέας του διανύσματος \vec{u}=|\vec{\beta }|\vec{\alpha }+|\vec{a}|\vec{\beta } διχοτομεί τη γωνία των διανυσμάτων \vec{\alpha } και \vec{\beta }.
  2. Ο φορέας του διανύσματος \vec{v}=|\vec{\beta }|\vec{\alpha }-|\vec{\alpha }|\vec{\beta } διχοτομεί την παραπληρωματική γωνία των διανυσμάτων \vec{\alpha },\vec{\beta }.


Λύση

001ask3b

Τα μέτρα των διανυσμάτων

\overrightarrow{OA'}=\left| {\vec{\beta }} \right|\cdot \vec{\alpha }

και

\overrightarrow{O{B}'}=\left| {\vec{\alpha }} \right|\cdot \vec{\beta }

είναι αντίστοιχα:

\left| \overrightarrow{OA'} \right|=\left| \left| {\vec{\beta }} \right|\cdot \vec{\alpha } \right|=\left| {\vec{\beta }} \right|\cdot \left| {\vec{\alpha }} \right|

και

\left| \overrightarrow{O{B}'} \right|=\left| \left| {\vec{\alpha }} \right|\cdot \vec{\beta } \right|=\left| {\vec{\alpha }} \right|\cdot \left| {\vec{\beta }} \right|

Επομένως είναι ίσα και το παραλληλόγραμμο ΟΑ΄ΓΒ΄ έχει τις διαδοχικές πλευρές του ίσες άρα είναι ρόμβος, άρα οι διαγώνιοί του διχοτομούν τις γωνίες του.

Δηλαδή η ΟΓ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΟΒ και η Α'Β' είναι διχοτόμος της γωνίας ΟΒ'Γ.

Επιπλέον αν

\overrightarrow {{\rm O}\Delta }  = \overrightarrow {{\rm B}'{\rm A}'}  = \vec v = |\vec \beta |\vec \alpha  - |\vec \alpha |\vec \beta

τότε η ΟΔ διχοτομεί την παραπληρωματική γωνία των \vec \alpha  , \vec \beta

Είσοδος μελών

Η πρόσβαση στο περιεχόμενο του site, εκτός των λυμένων ασκήσεων του δημοτικού, είναι ελεύθερη.



Στείλτε τις ερωτήσεις σας

Μπορείτε να στέλνετε τις ερωτήσεις σας σχετικά με τα μαθηματικά του Γυμνασίου και του Λυκείου στη διεύθυνση support@mathnet.gr .