ΑΡΧΙΚΗ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Επαναληπτικές ασκήσεις γεωμετρίας Α΄Λυκείου - Άσκηση 11

Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ, πλευράς α και κέντρου Ο, παίρνουμε στη διαγώνιο  ΑΓ σημείο Μ ώστε  \small \Gamma {\rm M} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{4}.

Φέρνουμε τη ΒΜ που τέμνει τη ΓΔ στο Ε και την ΟΗ κάθετη στη ΒΓ που τέμνει τη ΒΕ στο Ζ.

Να δείξετε ότι:

  1.  \small {\rm O}{\rm Z} = \frac{\alpha }{3}
  2. Το ΟΖΓΕ είναι παραλληλόγραμμο

Λύση

Το  Ο είναι το κέντρο του τετραγώνου. Επομένως το τρίγωνο ΒΟΓ είναι ισοσκελές και το ύψος ΟΗ είναι διάμεσος και διχοτόμος.

Άρα το Η είναι το μέσο της ΒΓ

Στο τρίγωνο ΑΒΓ τα Ο και Η είναι τα μέσα των ΑΓ και ΒΓ άρα

 \small {\rm O}{\rm H} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{2} = \frac{\alpha }{2}\qquad (1) 

Στο ΒΟΓ οι ΟΗ και ΒΜ είναι διάμεσοι, τέμνονται στο Ζ (βαρύκεντρο), επομένως

 \small {\rm O}{\rm Z} = \frac{2}{3}{\rm O}{\rm H}\mathop  = \limits^{\left( 1 \right)} \frac{2}{3} \cdot \frac{\alpha }{2} = \frac{\alpha }{3}




Προκειμένου να αποδείξουμε ότι το ΟΖΓΕ είναι παραλληλόγραμμο, αρκεί οι ΟΖ και ΕΓ να είναι παράλληλες και ίσες.

Στο τρίγωνο ΕΒΓ, το  Η είναι το μέσο της ΒΓ, και η ΖΗ είναι παράλληλη στην ΕΓ μιας και οι δύο είναι κάθετες στη ΒΓ.

Επομένως το σημείο Ζ είναι το μέσο της ΒΕ και

 \small {\rm E}\Gamma  = 2 \cdot {\rm Z}{\rm H}\qquad \left( 2 \right)

Το Ζ είναι το βαρύκεντρο του ΒΟΓ, άρα

 \small {\rm Z}{\rm H} = \frac{1}{3} \cdot {\rm O}{\rm H} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\alpha }{2} = \frac{\alpha }{6} 

επομένως

 \small {\rm E}\Gamma \mathop  = \limits^{\left( 2 \right)} 2 \cdot \frac{\alpha }{6} = \frac{\alpha }{3} 

και το ΟΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο.



Αναλυτική λύση της άσκησης σε video εδώ.

Είσοδος μελών

Η πρόσβαση στο περιεχόμενο του site, εκτός των λυμένων ασκήσεων του δημοτικού, είναι ελεύθερη.



Στείλτε τις ερωτήσεις σας

Μπορείτε να στέλνετε τις ερωτήσεις σας σχετικά με τα μαθηματικά του Γυμνασίου και του Λυκείου στη διεύθυνση support@mathnet.gr .