ΑΡΧΙΚΗ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Επαναληπτικές ασκήσεις γεωμετρίας Α΄Λυκείου - Άσκηση 12

Σε τρίγωνο ΑΒΓ με (ΑΒ > ΑΓ) φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΦ . Αν η κάθετη στην ΑΦ τέμνει την ΑΦ στο Ε και την ΑΓ στο Ζ, να δείξετε ότι:

  1. το τρίγωνο ΑΒΖ είναι ισοσκελές
  2.  \small {\rm Z}\hat {\rm B}\Gamma  = \frac{{\hat {\rm B} - \hat \Gamma }}{2}
  3. αν Μ το μέσο της ΒΓ , τότε ΑΓ – ΑΒ = 2 ΕΜ
  4. αν Η η προβολή του Γ στην ΑΦ και ΑΔ το ύψος, τότε τα τετράπλευρα ΑΔΗΓ και ΔΕΜΗ είναι εγγράψιμα


Λύση

Στο τρίγωνο ΑΒΖ , η διχοτόμος  ΑΕ της γωνίας Α κάθετη στην ΒΖ άρα και ύψος.

Επομένως είναι ισοσκελές με κορυφή το σημείο Α.

Οι γωνίες Β2 και Ζ1 πρόσκεινται στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΖ ,
επομένως  Β2 = Ζ1 .

Επίσης η γωνία Ζ1 είναι εξωτερική του τριγώνου ΒΖΓ, άρα

 \small {\hat {\rm Z}_1} = {\hat {\rm B}_1} + \hat \Gamma  \Leftrightarrow {\hat {\rm B}_2} = {\hat {\rm B}_1} + \hat \Gamma  \Leftrightarrow \hat {\rm B} - {\hat {\rm B}_1} = {\hat {\rm B}_1} + \hat \Gamma  \Leftrightarrow

 \small \hat {\rm B} - \hat \Gamma  = 2 \cdot {\hat {\rm B}_1} \Leftrightarrow {\hat {\rm B}_1} = \frac{{\hat {\rm B} - \hat \Gamma }}{2} 


Στο τρίγωνο ΒΖΓ , το Ε είναι το μέσο της ΒΖ, επειδή στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΖ η ΑΕ είναι διχοτόμος, άρα και διάμεσος.

Το τμήμα ΕΜ συνδέει τα μέσα των πλευρών του ΒΖ και ΒΓ επομένως είναι παράλληλο στη ΖΓ και ίσο με το μισό της. Επομένως

 \small {\rm E}{\rm M} = \frac{{{\rm Z}\Gamma }}{2} = \frac{{{\rm A}\Gamma  - {\rm A}{\rm Z}}}{2}

και εφόσον ΑΒ=ΑΖ

 \small  {\rm E}{\rm M} = \frac{{{\rm A}\Gamma  - {\rm A}{\rm B}}}{2}






Στο τετράπλευρο ΑΔΗΓ η πλευρά ΑΓ φαίνεται από τις απέναντι κορυφές Δ, Η υπό ίσες (ορθές) γωνίες, άρα είναι εγγράψιμο.

Στο τετράπλευρο ΔΕΜΗ:

Η γωνία ΔΗΕ είναι ίση με τη γωνία ΔΓΑ (1) ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο τόξο ΑΔ.

Η γωνία ΔΜΕ είναι ίση με την ΔΓΑ (2) ως εντός, εκτός και επί τα αυτά των ΕΜ // ΑΓ με τέμνουσα τη ΔΓ.

Από (1) και (2) προκύπτει ότι το τετράπλευρο ΔΗΜΕ είναι εγγράψιμο διότι η πλευρά ΔΕ φαίνεται από τις δύο απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες.

 

 

Αναλυτική λύση της άσκησης σε video εδώ.

Είσοδος μελών

Η πρόσβαση στο περιεχόμενο του site, εκτός των λυμένων ασκήσεων του δημοτικού, είναι ελεύθερη.



Στείλτε τις ερωτήσεις σας

Μπορείτε να στέλνετε τις ερωτήσεις σας σχετικά με τα μαθηματικά του Γυμνασίου και του Λυκείου στη διεύθυνση support@mathnet.gr .