ΑΡΧΙΚΗ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Επαναληπτικές ασκήσεις γεωμετρίας Α΄Λυκείου - Άσκηση 10

Σε οξυγώνιο τρίγωνο  ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ φέρνουμε τη διάμεσο ΑΔ και την προεκτείνουμε κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ. Φέρνουμε το ύψος ΑΗ και το προεκτείνουμε κατά τμήμα ΗΖ=ΗΑ. Να δείξετε ότι:

  1. ΒΖ=ΑΒ
  2. ΖΕ // ΒΓ
  3. Το τετράπλευρο ΒΓΕΖ είναι ισοσκελές τραπέζιο
  4. Το τρίγωνο ΒΟΓ είναι ισοσκελές
  5. Η ΟΔ είναι κάθετη στη ΒΓ

Λύση


 

1. Στο τρίγωνο ΑΒΖ  το ΒΗ είναι ύψος και διάμεσος.

Επομένως είναι ισοσκελές με ίσες πλευρές τις ΑΒ και ΒΖ


 

 

 

 

 

2. Στο τρίγωνο ΑΖΕ, τα σημεία Η και Δ είναι αντίστοιχα τα μέσα των πλευρών ΑΖ και ΑΕ.

Επομένως το ΗΔ είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ισούται με το μισό της.

Επομένως ΗΔ // ΖΕ άρα και ΖΕ // ΒΓ.

 

 

 

 


3. Στο τετράπλευρο ΑΒΕΓ , οι διαγώνιοί του ΑΕ και ΒΓ διχοτομούνται.


Επομένως είναι  παραλληλόγραμμο, άρα οι απέναντι πλευρές του ΑΒ και ΓΕ είναι ίσες και παράλληλες.

Εφόσον τα Α,Β,Ζ δεν είναι συνευθειακά οι ΒΖ και ΓΕ δεν είναι μεταξύ τους παράλληλες. 

Άρα το τετράπλευρο ΒΖΕΓ είναι τραπέζιο και αφού ΒΖ=ΑΒ=ΓΕ είναι ισοσκελές.

 

 

 

 

 

4. Στο ισοσκελές τραπέζιο ΒΖΕΓ τα τρίγωνα ΒΓΕ και ΒΓΖ είναι ίσα, διότι έχουν

τις ΓΕ = ΒΖ, ΒΕ = ΓΖ ως διαγωνίους του ισοσκελούς τραπεζίου ΒΖΕΓ και τη ΒΓ κοινή. 

Άρα οι γωνίες ΟΒΓ και ΟΓΒ είναι ίσες και το τρίγωνο ΒΟΓ είναι ισοσκελές.

 

5. Στο τρίγωνο ΒΟΓ το ΟΔ είναι διάμεσος άρα και ύψος. Άρα η ΟΔ είναι κάθετη στη ΒΓ

 

 

 

 

Αναλυτική λύση της άσκησης σε video εδώ.

Είσοδος μελών

Η πρόσβαση στο περιεχόμενο του site, εκτός των λυμένων ασκήσεων του δημοτικού, είναι ελεύθερη.



Στείλτε τις ερωτήσεις σας

Μπορείτε να στέλνετε τις ερωτήσεις σας σχετικά με τα μαθηματικά του Γυμνασίου και του Λυκείου στη διεύθυνση support@mathnet.gr .