mathnet.gr

Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ και ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ, προς το μέρος του Α, παίρνουμε τμήματα ΑΕ = ΑΓ
και ΑΔ = ΑΒ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:

1. τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα
2. τα τρίγωνα ΜΕΒ και ΜΔΓ είναι ίσα, όπου Μ το σημείο τομής των ΔΕ και ΒΓ
3. η ευθεία ΜΑ είναι η μεσοκάθετος των τμημάτων ΔΒ , ΕΓ.

Λύση

1.   Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ έχουν:

ΑΒ = ΑΔ

ΑΓ = ΑΕ

Επομένως είναι ίσα (Π-Γ-Π) και έχουν

και

2. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΜΕΒ και ΜΔΓ. Έχουν :

ΒΕ = ΔΓ  (ΑΒ + ΑΕ = ΑΓ + ΑΔ)

ως παραπληρώματα των

.

Επομένως είναι ίσα (Γ-Π-Γ) και έχουν ΜΕ = ΜΓ.

3. Είναι ΑΕ = ΑΓ και ΜΕ = ΜΓ.

Δηλαδή τα σημεία Α και Μ ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος ΕΓ, επομένως ανήκουν στην μεσοκάθετο του ΕΓ.

Είναι ΑΔ = ΑΒ και ΜΔ = ΜΒ ( ΜΕ – ΔΕ = ΜΓ – ΜΒ).

Δηλαδή τα σημεία Α και Μ ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος ΒΔ, επομένως ανήκουν στην μεσοκάθετο του ΒΔ.

Αναλυτική λύση της άσκησης σε video εδώ.