Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ και ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ, προς το μέρος του Α, παίρνουμε τμήματα ΑΕ = ΑΓ
και ΑΔ = ΑΒ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:
- τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα
- τα τρίγωνα ΜΕΒ και ΜΔΓ είναι ίσα, όπου Μ το σημείο τομής των ΔΕ και ΒΓ
- η ευθεία ΜΑ είναι η μεσοκάθετος των τμημάτων ΔΒ , ΕΓ.
Λύση
1. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ έχουν:
ΑΒ = ΑΔ
ΑΓ = ΑΕ
Επομένως είναι ίσα (Π-Γ-Π) και έχουν
και
2. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΜΕΒ και ΜΔΓ. Έχουν :
ΒΕ = ΔΓ (ΑΒ + ΑΕ = ΑΓ + ΑΔ)
ως παραπληρώματα των
.
Επομένως είναι ίσα (Γ-Π-Γ) και έχουν ΜΕ = ΜΓ.
3. Είναι ΑΕ = ΑΓ και ΜΕ = ΜΓ.
Δηλαδή τα σημεία Α και Μ ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος ΕΓ, επομένως ανήκουν στην μεσοκάθετο του ΕΓ.
Είναι ΑΔ = ΑΒ και ΜΔ = ΜΒ ( ΜΕ – ΔΕ = ΜΓ – ΜΒ).
Δηλαδή τα σημεία Α και Μ ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος ΒΔ, επομένως ανήκουν στην μεσοκάθετο του ΒΔ.
Αναλυτική λύση της άσκησης σε video εδώ.