ΑΡΧΙΚΗ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Επαναληπτικές ασκήσεις γεωμετρίας Α΄Λυκείου - Άσκηση 8

Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι δύο εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου τέμνονται και στη συνέχεια να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζουν ως συνάρτηση των γωνιών του αρχικού τριγώνου.


Λύση

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Bx , Γy οι διχοτόμοι των \small {\hat {\rm B}_{\varepsilon \xi }},{\hat \Gamma _{\varepsilon \xi }} αντίστοιχα.

Για να αποδείξουμε ότι τέμνονται, αρκεί το άθροισμα δύο εντός και επί τα αυτά γωνιών που σχηματίζουν όταν τέμνονται από τρίτη ευθεία είναι διάφορο των 180°. Έχουμε:


\small {\hat {\rm B}_2} = {\hat {\rm B}_3} ως κατακορυφήν \small {\hat {\Gamma}_2} = {\hat {\Gamma}_3} ως κατακορυφήν
 \small {\hat {\rm B}_2} = \frac{{{{\hat {\rm B}}_{\varepsilon \xi }}}}{2} = \frac{{\hat {\rm A} + \hat \Gamma }}{2} \small {\hat \Gamma _2} = \frac{{{{\hat \Gamma }_{\varepsilon \xi }}}}{2} = \frac{{\hat {\rm A} + \hat {\rm B}}}{2}


Άρα


 \small {\hat {\rm B}_3} + {\hat \Gamma _3}=\frac{{\hat {\rm A} + \hat \Gamma }}{2} + \frac{{\hat {\rm A} + \hat {\rm B}}}{2}=\hat {\rm A} + \frac{{\hat {\rm B}}}{2} + \frac{{\hat \Gamma }}{2}< \hat {\rm A} + \hat {\rm B} + \hat \Gamma 
Επομένως   \small {\hat {\rm B}_3} + {\hat \Gamma _3} \ne 180^\circ

και οι ημιευθείες Bx και Γy τέμνονται σε σημείο Μ.
Έχουμε:
\small \hat {\rm M} = 180^\circ  - \left( {\hat {\rm A} + \frac{{\hat {\rm B}}}{2} + \frac{{\hat \Gamma }}{2}} \right) = \hat {\rm A} + \hat {\rm B} + \hat \Gamma  - \hat {\rm A} - \frac{{\hat {\rm B}}}{2} - \frac{{\hat \Gamma }}{2}=
\small  = \frac{{\hat {\rm B}}}{2} + \frac{{\hat \Gamma }}{2} = \frac{{\hat {\rm B} + \hat \Gamma }}{2}
Αναλυτική λύση της άσκησης σε video  εδώ.

Είσοδος μελών

Η πρόσβαση στο περιεχόμενο του site, εκτός των λυμένων ασκήσεων του δημοτικού, είναι ελεύθερη.



Στείλτε τις ερωτήσεις σας

Μπορείτε να στέλνετε τις ερωτήσεις σας σχετικά με τα μαθηματικά του Γυμνασίου και του Λυκείου στη διεύθυνση support@mathnet.gr .