ΑΡΧΙΚΗ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Επαναληπτικές ασκήσεις γεωμετρίας Α΄Λυκείου - Άσκηση 7

Να αποδείξετε ότι ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν έχει δύο ίσες διαμέσους.


Λύση

ευθύ

Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και έστω ΒΔ και ΓΔ  διάμεσοι.

Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΒΓΕ. Αυτά έχουν

\small {\rm A} {\Gamma} = {\rm A}{\rm B} (κοινή πλευρά)

\small {\rm \Delta} \Gamma = {\rm E}{\rm B} αφού  \small \frac{{\rm A}{\Gamma}}{2} = \frac{{\rm A}{\rm B}}{2}

 \small \hat {\rm B} = \hat \Gamma  (προσκείμενες γωνίες στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ)


αντίστροφο

α' τρόπος

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ , τις διαμέσους του ΒΔ και ΓΕ με ΒΔ = ΓΕ που τέμνονται στο Θ.

Το Θ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ άρα απέχει από κάθε κορυφή τα 2/3 της αντίστοιχης διαμέσου. Έχουμε:

\small {\rm B}\Delta  = \Gamma {\rm E} \Leftrightarrow \frac{2}{3}{\rm B}\Delta  = \frac{2}{3}\Gamma {\rm E} \Leftrightarrow \boxed{\Theta {\rm B} = \Theta \Gamma } 

\small {\rm B}\Delta  = \Gamma {\rm E} \Leftrightarrow \frac{1}{3}{\rm B}\Delta  = \frac{1}{3}\Gamma {\rm E} \Leftrightarrow \boxed{\Theta \Delta  = \Theta {\rm E}}

και αφού \small {\rm B}\hat \Theta {\rm E} = \Gamma \hat \Theta \Delta

τα τρίγωνα ΒΘΕ και ΓΘΔ είναι ίσα (π-γ-π) επομένως

\small {\rm B}{\rm E} = \Gamma \Delta  \Leftrightarrow \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{2} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{2} \Leftrightarrow \boxed{{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma }

και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.


β' τρόπος

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ , τις διαμέσους του ΒΔ και ΓΕ με ΒΔ = ΓΕ.

Τα Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα, άρα το τμήμα ΔΕ είναι παράλληλο προς την πλευρά ΒΓ.

Το τετράπλευρο ΒΓΔΕ είναι τραπέζιο με ίσες διαγώνιους ΒΔ, ΓΕ, άρα είναι ισοσκελές και

\small {\rm B}{\rm E} = \Gamma \Delta  \Leftrightarrow \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{2} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{2} \Leftrightarrow \boxed{{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma }

και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.



Αναλυτική λύση της άσκησης σε video εδώ

Είσοδος μελών

Η πρόσβαση στο περιεχόμενο του site, εκτός των λυμένων ασκήσεων του δημοτικού, είναι ελεύθερη.



Στείλτε τις ερωτήσεις σας

Μπορείτε να στέλνετε τις ερωτήσεις σας σχετικά με τα μαθηματικά του Γυμνασίου και του Λυκείου στη διεύθυνση support@mathnet.gr .