Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Ε, Ζ τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα.

Να δείξετε ότι οι ΔΕ και ΒΖ τριχοτομούν τη διαγώνιο ΑΓ.


Λύση

Έστω Κ, Λ τα σημεία τομής των ΔΕ και ΒΖ με τη διαγώνιο ΑΓ.

Οι απέναντι πλευρές ΑΒ και ΓΔ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ είναι ίσες και παράλληλες, άρα αφού τα σημεία Ε και Ζ είναι αντίστοιχα τα μέσα τους

\small {\rm A}{\rm B} = \Gamma \Delta  \Leftrightarrow \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{2} = \frac{{\Gamma \Delta }}{2} \Leftrightarrow {\rm E}{\rm B} = \Delta {\rm Z} και \small {\rm E}{\rm B}\parallel \Delta {\rm Z}

Το τετράπλευρο ΕΒΖΔ έχει δύο απέναντι πλευρές του παράλληλες και ίσες, επομένως είναι παραλληλόγραμμο άρα

\small \Delta {\rm E}\parallel {\rm B}{\rm Z}

Στο τρίγωνο ΑΒΛ το Ε είναι μέσο της πλευράς ΑΒ και η ΚΕ είναι παράλληλη προς την πλευρά ΒΛ. Άρα το Κ είναι το μέσο της ΑΛ, δηλαδή

\small {\rm A}{\rm K} = {\rm K}\Lambda   (1)

Στο τρίγωνο ΓΚΔ το Ζ είναι μέσο της πλευράς ΓΔ και η ΛΖ είναι παράλληλη προς την πλευρά ΚΔ. Άρα το Λ είναι το μέσο της ΚΓ, δηλαδή

\small {\rm K}\Lambda = \Lambda\Gamma (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε ΑΚ=ΚΛ=ΛΓ, επομένως οι ΔΕ και ΒΖ τριχοτομούν τη διαγώνιο ΑΓ






Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Ε, Ζ τα μέσα των ΓΔ και ΑΔ αντίστοιχα.
Να δείξετε ότι οι ΒΕ και ΒΖ τριχοτομούν τη διαγώνιο ΑΓ


Λύση

Έστω Θ και Η τα σημεία στα οποία οι ΒΖ και ΒΕ τέμνουν τη διαγώνιο ΑΓ. Φέρνουμε τη διαγώνιο ΒΔ που τέμνει την ΑΓ στο Ο που είναι το μέσο των ΒΔ και ΑΓ διότι οι διαγώνιοι παραλληλογράμμου διχοτομούνται.

Στο τρίγωνο ΑΒΔ οι ΑΟ και ΒΖ είναι διάμεσοι που τέμνονται στο Θ. Επομένως το Θ είναι το βαρύκεντρο του ΑΒΔ και

\small {\rm A}\Theta  = \frac{2}{3}{\rm A}{\rm O} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}{\rm A}\Gamma  = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{3} (1) και \small \Theta {\rm O} = \frac{1}{3}{\rm A}{\rm O} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}{\rm A}\Gamma  = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{6}(2)

Στο τρίγωνο ΒΓΔ οι ΓΟ και ΒΕ είναι διάμεσοι που τέμνονται στο Η. Επομένως το Η είναι το βαρύκεντρο του ΒΓΔ και

\small \Gamma {\rm H} = \frac{2}{3}\Gamma {\rm O} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}{\rm A}\Gamma  = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{3} (3)  και \small {\rm O}{\rm H} = \frac{1}{3}\Gamma {\rm O} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}{\rm A}\Gamma  = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{6} (4)

Από τις σχέσεις (2) και (4) έχουμε

 \small \Theta {\rm H} = \Theta {\rm O} + {\rm O}{\rm H} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{6} + \frac{{{\rm A}\Gamma }}{6} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{3} και από τις (1) και (3) έχουμε

ΑΘ=ΘΗ=ΓΗ επομένως οι ΒΕ και ΒΖ τριχοτομούν τη διαγώνιο ΑΓ


Αναλυτική λύση της άσκησης σε video εδώ.