ΑΡΧΙΚΗ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Επαναληπτικές ασκήσεις γεωμετρίας Α' Λυκείου - Ασκήσεις 5,6

Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Ε, Ζ τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα.

Να δείξετε ότι οι ΔΕ και ΒΖ τριχοτομούν τη διαγώνιο ΑΓ.


Λύση

Έστω Κ, Λ τα σημεία τομής των ΔΕ και ΒΖ με τη διαγώνιο ΑΓ.

Οι απέναντι πλευρές ΑΒ και ΓΔ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ είναι ίσες και παράλληλες, άρα αφού τα σημεία Ε και Ζ είναι αντίστοιχα τα μέσα τους

\small {\rm A}{\rm B} = \Gamma \Delta  \Leftrightarrow \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{2} = \frac{{\Gamma \Delta }}{2} \Leftrightarrow {\rm E}{\rm B} = \Delta {\rm Z} και \small {\rm E}{\rm B}\parallel \Delta {\rm Z}

Το τετράπλευρο ΕΒΖΔ έχει δύο απέναντι πλευρές του παράλληλες και ίσες, επομένως είναι παραλληλόγραμμο άρα

\small \Delta {\rm E}\parallel {\rm B}{\rm Z}

Στο τρίγωνο ΑΒΛ το Ε είναι μέσο της πλευράς ΑΒ και η ΚΕ είναι παράλληλη προς την πλευρά ΒΛ. Άρα το Κ είναι το μέσο της ΑΛ, δηλαδή

\small {\rm A}{\rm K} = {\rm K}\Lambda   (1)

Στο τρίγωνο ΓΚΔ το Ζ είναι μέσο της πλευράς ΓΔ και η ΛΖ είναι παράλληλη προς την πλευρά ΚΔ. Άρα το Λ είναι το μέσο της ΚΓ, δηλαδή

\small {\rm K}\Lambda = \Lambda\Gamma (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε ΑΚ=ΚΛ=ΛΓ, επομένως οι ΔΕ και ΒΖ τριχοτομούν τη διαγώνιο ΑΓ






Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Ε, Ζ τα μέσα των ΓΔ και ΑΔ αντίστοιχα.
Να δείξετε ότι οι ΒΕ και ΒΖ τριχοτομούν τη διαγώνιο ΑΓ


Λύση

Έστω Θ και Η τα σημεία στα οποία οι ΒΖ και ΒΕ τέμνουν τη διαγώνιο ΑΓ. Φέρνουμε τη διαγώνιο ΒΔ που τέμνει την ΑΓ στο Ο που είναι το μέσο των ΒΔ και ΑΓ διότι οι διαγώνιοι παραλληλογράμμου διχοτομούνται.

Στο τρίγωνο ΑΒΔ οι ΑΟ και ΒΖ είναι διάμεσοι που τέμνονται στο Θ. Επομένως το Θ είναι το βαρύκεντρο του ΑΒΔ και

\small {\rm A}\Theta  = \frac{2}{3}{\rm A}{\rm O} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}{\rm A}\Gamma  = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{3} (1) και \small \Theta {\rm O} = \frac{1}{3}{\rm A}{\rm O} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}{\rm A}\Gamma  = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{6}(2)

Στο τρίγωνο ΒΓΔ οι ΓΟ και ΒΕ είναι διάμεσοι που τέμνονται στο Η. Επομένως το Η είναι το βαρύκεντρο του ΒΓΔ και

\small \Gamma {\rm H} = \frac{2}{3}\Gamma {\rm O} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}{\rm A}\Gamma  = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{3} (3)  και \small {\rm O}{\rm H} = \frac{1}{3}\Gamma {\rm O} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}{\rm A}\Gamma  = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{6} (4)

Από τις σχέσεις (2) και (4) έχουμε

 \small \Theta {\rm H} = \Theta {\rm O} + {\rm O}{\rm H} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{6} + \frac{{{\rm A}\Gamma }}{6} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{3} και από τις (1) και (3) έχουμε

ΑΘ=ΘΗ=ΓΗ επομένως οι ΒΕ και ΒΖ τριχοτομούν τη διαγώνιο ΑΓ


Αναλυτική λύση της άσκησης σε video εδώ.

Είσοδος μελών

Η πρόσβαση στο περιεχόμενο του site, εκτός των λυμένων ασκήσεων του δημοτικού, είναι ελεύθερη.



Στείλτε τις ερωτήσεις σας

Μπορείτε να στέλνετε τις ερωτήσεις σας σχετικά με τα μαθηματικά του Γυμνασίου και του Λυκείου στη διεύθυνση support@mathnet.gr .