ΑΡΧΙΚΗ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Επαναληπτικές ασκήσεις γεωμετρίας Α' Λυκείου - Άσκηση 4

Σε τρίγωνο ΑΒΓ με  \small \hat {\rm B} > \hat \Gamma φέρνουμε το ύψος ΑΗ και ονομάζουμε Μ και Ρ τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι

 \small {\rm H}\hat {\rm P}{\rm M} = \hat {\rm B} - \hat \Gamma


Λύση


Τα σημεία Ρ και Μ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΓ και ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ , επομένως  είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά

\small {\rm P}{\rm M}\parallel {\rm A}{\rm B}

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΗΓ η ΗΡ είναι διάμεσος προς την υποτείνουσά του, επομένως είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας

\small {\rm H}{\rm P} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{2} = {\rm P}\Gamma

Άρα το τρίγωνο ΗΡΓ είναι ισοσκελές με

 \small {\rm P}\hat {\rm H}{\rm M} = {\hat {\rm H}_1} = \hat \Gamma (1)

Επίσης

 \small {\rm P}\hat {\rm M}\Gamma  = {\hat {\rm M}_1} = \hat {\rm B} (2)

ως εντός, εκτός και επι τα αυτά των παραλλήλων ΡΜ και ΑΒ με τέμνουσα τη ΒΓ.

Η γωνία  \small \hat{\rm M_1} ως εξωτερική του τριγώνου ΗΡΜ είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι και εσωτερικών γωνιών του, δηλαδή

 \small {\hat {\rm M}_1} = {\hat {\rm H}_1} + {\hat {\rm P}_1}

Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε

 \small \hat {\rm B} = \hat \Gamma  + {\rm H}\hat {\rm P}{\rm M} \Leftrightarrow {\rm H}\hat {\rm P}{\rm M} = \hat {\rm B} - \hat \Gamma

Αναλυτική λύση της άσκησης σε video εδώ .

Είσοδος μελών

Η πρόσβαση στο περιεχόμενο του site, εκτός των λυμένων ασκήσεων του δημοτικού, είναι ελεύθερη.



Στείλτε τις ερωτήσεις σας

Μπορείτε να στέλνετε τις ερωτήσεις σας σχετικά με τα μαθηματικά του Γυμνασίου και του Λυκείου στη διεύθυνση support@mathnet.gr .